Moving Average Modell Acf

ARMA, ARMA Acf - Pacf Visualisierungen Wie im vorherigen Beitrag erwähnt. Ich habe mit Autoregressiven und Moving Average Simulationen gearbeitet. Um die Korrektheit der Schätzungen durch unsere Simulationen zu testen, verwenden wir acf (Autokorrelation) und pacf (partielle Autokorrelation) zu unserem Gebrauch. Für verschiedene Ordnungen von AR und MA erhalten wir die variierenden Visualisierungen mit ihnen, wie: Exponential abnehmende Kurven. Gedämpfte Sinuswellen. Positive und negative Spikes, etc. Während der Analyse und das Schreiben von Tests für das gleiche, habe ich auch einige Zeit, um diese Daten auf ilne und Balkendiagramme zu visualisieren, um ein klareres Bild zu bekommen: AR (1) Prozess AR (1) Prozess ist die autoregressive Simulation mit Ordnung p 1, dh mit einem Wert von phi. Idealer AR (p) Prozess wird dargestellt durch: Um dies zu simulieren, installieren Sie hier Statsample-Zeiten. Für AR (p) muss acf eine dämpfende Sinuswelle geben. Das Muster hängt stark vom Wert und dem Zeichen der phi-Parameter ab. Wenn positiver Inhalt in Phi-Koeffizienten mehr ist, bekommst du eine Sinuswelle, die von der positiven Seite ausgeht, sonst wird die Sinuswelle von der negativen Seite ausgehen. Beachten Sie, dass die Dämpfungs-Sinuswelle von der positiven Seite hier ausgeht und hier die negative Seite. Pacf gibt Spike bei Verzögerung 0 (Wert 1.0, Voreinstellung) und von Verzögerung 1 bis Verzögerung k. Das Beispiel oben, verfügt über AR (2) Prozess, dafür müssen wir Spikes bei Verzögerung 1 - 2 als: MA (1) Prozess MA (1) Prozess ist die gleitende durchschnittliche Simulation mit Ordnung q 1. dh mit einem Wert Von theta Um dies zu simulieren, verwenden Sie masim Methode von Statsample :: ARIMA :: ARIMA MA (q) Prozess ARMA (p, q) Prozess ARMA (p, q) ist die Kombination von autoregressiven und gleitenden durchschnittlichen Simulationen. Wenn q 0. Der Prozeß wird als reiner autoregressiver Prozeß bezeichnet, wenn p 0. Der Prozeß ist rein gleitender Durchschnitt. Der simulator von ARMA kann als armasim in Statsample :: ARIMA :: ARIMA gefunden werden. Für ARMA (1, 1) Prozess, hier sind die Vergleiche der Visualisierungen von R und dieser Code, der gerade meinen Tag gemacht hat :) Cheers, - Ankur Goel Geschrieben von Ankur Goel Jul 20th. 2013 Aktuelle Beiträge GitHub ReposItentifizierung der Zahlen von AR - oder MA-Begriffen in einem ARIMA-Modell ACF - und PACF-Plots: Nachdem eine Zeitreihe durch Differenzierung stationärisiert wurde, ist der nächste Schritt bei der Anpassung eines ARIMA-Modells, um festzustellen, ob AR - oder MA-Begriffe benötigt werden Korrigiere jede Autokorrelation, die in der differenzierten Reihe bleibt. Natürlich, mit Software wie Statgraphics, können Sie nur versuchen, einige verschiedene Kombinationen von Begriffen und sehen, was am besten funktioniert. Aber es gibt einen systematischeren Weg, dies zu tun. Durch Betrachten der Autokorrelationsfunktion (ACF) und partiellen Autokorrelations - (PACF) - Plots der differenzierten Serien können Sie die Anzahl der benötigten AR - und MA-MA-Terme vorläufig identifizieren. Sie sind bereits mit dem ACF-Plot vertraut: Es ist nur ein Balkendiagramm der Koeffizienten der Korrelation zwischen einer Zeitreihe und Verzögerungen von sich selbst. Die PACF-Kurve ist eine Auftragung der partiellen Korrelationskoeffizienten zwischen der Serie und den Verzögerungen von sich selbst. Im Allgemeinen ist die quasiologische Korrelation zwischen zwei Variablen die Menge der Korrelation zwischen ihnen, die nicht durch ihre gegenseitigen Korrelationen mit einem bestimmten Satz von anderen Variablen erklärt wird. Wenn wir zum Beispiel eine Variable Y auf anderen Variablen X1, X2 und X3 rückgängig machen, ist die partielle Korrelation zwischen Y und X3 die Korrelation zwischen Y und X3, die nicht durch ihre gemeinsamen Korrelationen mit X1 und X2 erklärt wird. Diese partielle Korrelation kann als Quadratwurzel der Reduktion der Varianz berechnet werden, die durch Addition von X3 zur Regression von Y auf X1 und X2 erreicht wird. Eine partielle Autokorrelation ist die Menge der Korrelation zwischen einer Variablen und einer Verzögerung von sich selbst, die nicht durch Korrelationen bei allen niederwertigenlags erklärt wird. Die Autokorrelation einer Zeitreihe Y bei Verzögerung 1 ist der Koeffizient der Korrelation zwischen Yt und Yt - 1. Was vermutlich auch die Korrelation zwischen Y t -1 und Y t -2 ist. Aber wenn Y t mit Y t -1 korreliert ist. Und Y t -1 gleich mit Y t -2 korreliert ist. Dann sollten wir auch erwarten, eine Korrelation zwischen Yt und Yt-2 zu finden. In der Tat ist die Korrelation, die wir bei der Verzögerung 2 erwarten sollten, genau das Quadrat der Lag-1-Korrelation. Somit ist die Korrelation bei Verzögerung 1 quadratisch auf Verzögerung 2 und vermutlich auf höherwertige Verzögerungen. Die partielle Autokorrelation bei Verzögerung 2 ist daher die Differenz zwischen der tatsächlichen Korrelation bei der Verzögerung 2 und der erwarteten Korrelation aufgrund der Ausbreitung der Korrelation bei Verzögerung 1. Hierbei handelt es sich um die Autokorrelationsfunktion (ACF) der UNITS-Reihe, bevor eine Differenzierung durchgeführt wird: Die Autokorrelationen sind für eine große Anzahl von Verzögerungen bedeutsam - aber vielleicht sind die Autokorrelationen bei den Verzögerungen 2 und darüber nur auf die Ausbreitung der Autokorrelation bei Verzögerung 1 zurückzuführen. Dies wird durch die PACF-Kurve bestätigt: Beachten Sie, dass die PACF-Kurve eine signifikante Bedeutung hat Spike nur bei lag 1, was bedeutet, dass alle Autokorrelationen höherer Ordnung effektiv durch die Lag-1-Autokorrelation erklärt werden. Die partiellen Autokorrelationen an allen Verzögerungen können berechnet werden, indem man eine Folge von autoregressiven Modellen mit zunehmender Anzahl von Verzögerungen anpasst. Insbesondere ist die partielle Autokorrelation bei der Verzögerung k gleich dem geschätzten AR (k) - Koeffizienten in einem autoregressiven Modell mit k Terms - d. h. Ein multiples Regressionsmodell, bei dem Y auf LAG (Y, 1), LAG (Y, 2) usw. bis zu LAG (Y, k) regressiert wird. So können Sie durch die bloße Inspektion des PACF bestimmen, wie viele AR-Begriffe Sie verwenden müssen, um das Autokorrelationsmuster in einer Zeitreihe zu erklären: Wenn die partielle Autokorrelation bei der Verzögerung k und bei signifikanter Verzögerung nicht signifikant ist, d. h. Wenn die PACF-Quoten bei der Verzögerung k abschneiden - dann schlägt das vor, dass man ein autoregressives Bestellmodell anpassen sollte. Der PACF der UNITS-Serie bietet ein extremes Beispiel für das Cut-off-Phänomen: Es hat eine sehr große Spike bei lag 1 Und keine anderen signifikanten Spikes, was darauf hinweist, dass in Abwesenheit der Differenzierung ein AR (1) - Modell verwendet werden sollte. Allerdings wird sich der AR (1) - Dext in diesem Modell als gleichbedeutend mit einer ersten Differenz erweisen, da der geschätzte AR (1) - Koeffizient (der die Höhe des PACF-Spikes bei Verzögerung 1 ist) fast genau gleich 1 ist Nun ist die Prognosegleichung für ein AR (1) - Modell für eine Reihe Y ohne Ordnungen der Differenzierung: Ist der AR (1) - Koeffizient 981 1 in dieser Gleichung gleich 1, so ist es gleichbedeutend mit der Vorhersage, dass die erste Differenz Von Y ist konstant - dh Es ist gleichbedeutend mit der Gleichung des zufälligen Spaziergangsmodells mit dem Wachstum: Die PACF der UNITS-Serie sagt uns, dass, wenn wir es nicht unterscheiden, dann ein AR (1) - Modell passen, das sich als gleichwertig erweisen wird Ein erster unterschied Mit anderen Worten, es sagt uns, dass UNITS wirklich eine Reihenfolge der Differenzierung benötigt, um stationär zu sein. AR - und MA-Signaturen: Wenn der PACF einen scharfen Cutoff zeigt, während der ACF langsamer abfällt (dh signifikante Spikes bei höheren Verzögerungen hat), so sagen wir, dass die stationäre Serie eine signifikante Signatur anzeigt, was bedeutet, dass das Autokorrelationsmuster leichter erklärt werden kann Durch Hinzufügen von AR-Terme als durch Hinzufügen von MA-Terme. Sie werden wahrscheinlich feststellen, dass eine AR-Signatur häufig mit einer positiven Autokorrelation bei Verzögerung 1 - d. h. Es neigt dazu, in Serie, die leicht unter differenziert sind. Der Grund dafür ist, dass ein AR-Term in der Prognosegleichung wie ein quadratischer Unterschied stehen kann. Zum Beispiel handelt es in einem AR (1) - Modell der AR-Term wie ein erster Unterschied, wenn der autoregressive Koeffizient gleich 1 ist, tut es nichts, wenn der autoregressive Koeffizient null ist, und er wirkt wie eine partielle Differenz, wenn der Koeffizient zwischen ist 0 und 1. Wenn also die Serie etwas unterdifferenziert ist - also Wenn das nichtstationäre Muster der positiven Autokorrelation nicht vollständig beseitigt ist, wird es eine Teildifferenz fordern, indem man eine AR-Signatur anzeigt. Daher haben wir die folgende Faustregel für die Bestimmung, wann man AR-Terme hinzufügen soll: Regel 6: Wenn die PACF der differenzierten Reihe einen scharfen Cutoff zeigt und die Lag-1-Autokorrelation positiv ist - i. e. Wenn die Serie erscheint etwas andersdifferencedquot - dann erwägen Hinzufügen eines AR-Begriffs auf das Modell. Die Verzögerung, bei der die PACF abschneidet, ist die angegebene Anzahl von AR-Terme. Grundsätzlich kann jedes Autokorrelationsmuster aus einer stationärisierten Reihe entfernt werden, indem man genügend autoregressive Begriffe (Verzögerungen der stationären Serie) der Prognosegleichung hinzufügt und die PACF sagt, wie viele solche Begriffe wahrscheinlich benötigt werden. Allerdings ist dies nicht immer der einfachste Weg, um ein gegebenes Muster der Autokorrelation zu erklären: Manchmal ist es effizienter, MA-Terme (Verzögerungen der Prognosefehler) stattdessen hinzuzufügen. Die Autokorrelationsfunktion (ACF) spielt bei MA-Terme die gleiche Rolle, dass der PACF für AR-Terme spielt - das heißt, der ACF sagt Ihnen, wie viele MA-Begriffe wahrscheinlich benötigt werden, um die verbleibende Autokorrelation aus der differenzierten Serie zu entfernen. Wenn die Autokorrelation bei Verzögerung k ist, aber nicht bei höheren Verzögerungen - d. h. Wenn die ACF-Quoten bei Verzögerung k abschneiden - bedeutet dies, dass genau k MA-Begriffe in der Prognosegleichung verwendet werden sollen. Im letzteren Fall sagen wir, dass die stationäre Serie eine signifikante Signatur anzeigt, was bedeutet, dass das Autokorrelationsmuster leichter durch Hinzufügen von MA-Terme erklärt werden kann, als durch Hinzufügen von AR-Terme. Eine MA-Signatur ist gewöhnlich mit einer negativen Autokorrelation bei Verzögerung 1 - d. h. Es neigt dazu, in Serie zu kommen, die etwas überdimensioniert sind. Der Grund hierfür ist, dass ein MA-Term die Reihenfolge der Differenzierung in der Prognosegleichung punktuell aufheben kann. Um dies zu sehen, ist zu erinnern, dass ein ARIMA (0,1,1) Modell ohne Konstante einem Simple Exponential Smoothing Model entspricht. Die Prognosegleichung für dieses Modell ist dort, wo der MA (1) Koeffizient 952 1 der Menge 1 - 945 im SES-Modell entspricht. Wenn 952 1 gleich 1 ist, entspricht dies einem SES-Modell mit 945 0, was nur ein CONSTANT-Modell ist, weil die Prognose niemals aktualisiert wird. Dies bedeutet, dass, wenn 952 1 gleich 1 ist, tatsächlich die differenzierende Operation auslöscht, die normalerweise die SES-Prognose erlaubt, sich bei der letzten Beobachtung wieder zu verankern. Wenn andererseits der gleitendurchschnittliche Koeffizient gleich 0 ist, reduziert sich dieses Modell auf ein zufälliges Wandermodell - d. h. Es verlässt den differenzierenden Betrieb allein. Also, wenn 952 1 etwas größer als 0 ist, ist es so, als ob wir teilweise eine Reihenfolge der Differenzierung annullieren. Wenn die Serie schon etwas überdimensioniert ist - d. h. Wenn eine negative Autokorrelation eingeführt wurde - dann wird es einen Forcot einen Unterschied abgeben, der teilweise durch die Anzeige einer MA-Signatur abgebrochen wird. (Eine Menge von Armwellen geht hier weiter Eine strengere Erklärung dieses Effektes findet sich in der mathematischen Struktur von ARIMA Models Handzettel.) Daher die folgende zusätzliche Faustregel: Regel 7: Wenn die ACF der differenzierten Serie a zeigt Scharfe Abschaltung und die Lag-1-Autokorrelation ist negativ Wenn die Serie erscheint etwas quittiertdifferencedquot - dann erwägen Hinzufügen einer MA-Begriff zum Modell. Die Verzögerung, bei der der ACF abschaltet, ist die angegebene Anzahl von MA-Terme. Ein Modell für die UNITS-Serie - ARIMA (2,1,0): Bisher haben wir festgestellt, dass die UNITS-Serie (mindestens) eine Reihenfolge der Nichtseason-Differenzierung benötigt, um stationär zu sein. Nach der Einnahme einer nicht-seasonalen Differenz - d. h. Anpassung eines ARIMA (0,1,0) - Modells mit konstanten - die ACF - und PACF-Plots sehen so aus: Beachten Sie, dass (a) die Korrelation bei lag 1 signifikant und positiv ist und (b) die PACF einen schärferen Quotenausschnitt hat als Der ACF. Insbesondere hat die PACF nur zwei signifikante Spikes, während die ACF vier hat. So zeigt die differenzierte Reihe nach Regel 7 eine AR (2) Signatur. Wenn wir also die Reihenfolge des AR-Termes auf 2 setzen - d. h. Passen ein ARIMA (2,1,0) Modell - wir erhalten die folgenden ACF - und PACF-Plots für die Residuen: Die Autokorrelation bei den entscheidenden Verzögerungen - nämlich Verzögerungen 1 und 2 - wurde eliminiert und es gibt kein erkennbares Muster In höherer Ordnung. Die Zeitreihenpläne der Residuen zeigen eine etwas beunruhigende Tendenz, vom Mittelwert weg zu wandern: Allerdings zeigt der Analysezusammenfassungsbericht, dass das Modell dennoch in der Validierungsperiode sehr gut abläuft, beide AR-Koeffizienten unterscheiden sich deutlich von Null und dem Standard Die Abweichung der Residuen wurde von 1.54371 auf 1.4215 (fast 10) durch die Addition der AR-Terme reduziert. Darüber hinaus gibt es keine Anzeichen für eine Quotenwurzel, weil die Summe der AR-Koeffizienten (0,2522540.195572) nicht nahe bei 1 liegt. (Einheitswurzeln werden im Folgenden näher erläutert.) Im Großen und Ganzen scheint dies ein gutes Modell zu sein . Die (untransformierten) Prognosen für das Modell zeigen einen linearen Aufwärtstrend, der in die Zukunft projiziert wird: Der Trend in den Langzeitprognosen ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass das Modell einen Nichtseasonaldifferenz und einen konstanten Begriff beinhaltet: Dieses Modell ist grundsätzlich ein zufälliger Spaziergang mit Wachstum durch die Addition von zwei autoregressiven Begriffen - d. h. Zwei Verzögerungen der differenzierten Serie. Die Steigung der Langzeitprognosen (d. h. der durchschnittliche Anstieg von einer Periode zur anderen) entspricht dem Mittelwert in der Modellübersicht (0.467566). Die Prognosegleichung lautet: wobei 956 der konstante Term in der Modellzusammenfassung (0.258178), 981 1 der AR (1) - Koeffizient (0,25224) und 981 2 der AR (2) - Koeffizient (0.195572) ist. Mittlerweile gegen Konstante: Im Allgemeinen bezieht sich der Quatenzausdruck in der Ausgabe eines ARIMA-Modells auf den Mittelwert der differenzierten Reihe (dh der durchschnittliche Trend, wenn die Reihenfolge der Differenzierung gleich 1 ist), während die Quantenkonstante der konstante Term ist Auf der rechten Seite der Prognosegleichung. Die mittlere und konstante Begriffe beziehen sich auf die Gleichung: CONSTANT MEAN (1 minus die Summe der AR-Koeffizienten). In diesem Fall haben wir 0,258178 0.467566 (1 - 0.25224 - 0.195572) Alternatives Modell für die UNITS-Serie - ARIMA (0,2,1): Erinnern wir uns, dass wir bei der Analyse der UNITS-Serie nicht ganz sicher waren Korrekte Reihenfolge der Differenzierung zu verwenden. Eine Reihenfolge der Nicht-Seasonal-Differenzierung ergab die niedrigste Standardabweichung (und ein Muster der milden positiven Autokorrelation), während zwei Ordnungen von nicht-seasonal differencing eine stationärere Zeitreihenfolge (aber mit ziemlich starker negativer Autokorrelation) ergaben. Hier sind sowohl die ACF als auch die PACF der Serie mit zwei Nichtseasonalunterschieden: Die einzelne negative Spike bei Verzögerung 1 im ACF ist eine MA (1) Signatur gemäß Regel 8 oben. Wenn wir also 2 nichtseasonale Unterschiede verwenden würden, wären wir auch einen MA (1) Begriff, der ein ARIMA (0,2,1) Modell liefert. Nach Regel 5 wollen wir auch den konstanten Begriff unterdrücken. Hier sind also die Ergebnisse der Anpassung eines ARIMA (0,2,1) Modells ohne Konstante: Beachten Sie, dass die geschätzte Weißrauschen-Standardabweichung (RMSE) für dieses Modell nur sehr geringfügig höher ist als die vorherige (1.46301 hier gegenüber 1.45215 vorher). Die Prognosegleichung für dieses Modell lautet: wobei theta-1 der MA (1) Koeffizient ist. Es sei daran erinnert, dass dies einem Linear-Exponential-Glättungsmodell ähnlich ist, wobei der MA (1) - Koeffizient der Größe 2 (1-alpha) im LES-Modell entspricht. Der MA (1) - Koeffizient von 0,76 in diesem Modell deutet darauf hin, dass ein LES-Modell mit Alpha in der Nähe von 0,72 genau gleich gut passen würde. Tatsächlich, wenn ein LES-Modell an die gleichen Daten angepasst ist, erweist sich der optimale Wert von alpha auf etwa 0,61, was nicht zu weit weg ist. Hier ist ein Modellvergleichsbericht, der die Ergebnisse der Montage des ARIMA (2,1,0) Modells mit konstantem ARIMA (0,2,1) Modell ohne Konstante und das LES Modell zeigt: Die drei Modelle verlaufen nahezu identisch Die Schätzperiode und das ARIMA (2,1,0) - Modell mit konstantem erscheint etwas besser als die beiden anderen in der Validierungsperiode. Auf der Grundlage dieser statistischen Ergebnisse allein wäre es schwer, unter den drei Modellen zu wählen. Wenn wir jedoch die langfristigen Prognosen des ARIMA-Modells (0,2,1) ohne Konstante (die im Wesentlichen die gleichen sind wie die des LES-Modells) darstellen, sehen wir einen signifikanten Unterschied zu denen des früheren Modells: Die Prognosen haben etwas weniger Aufwärtstrend als die des früheren Modells - denn der lokale Trend nahe dem Ende der Serie ist etwas geringer als der durchschnittliche Trend über die ganze Serie - aber die Konfidenzintervalle sind viel schneller gewachsen. Das Modell mit zwei Ordnungen von differencing geht davon aus, dass der Trend in der Serie zeitabhängig ist, daher betrachtet er die ferne Zukunft viel ungewisser als das Modell mit nur einer Reihenfolge der Differenzierung. Welches Modell sollten wir wählen Das hängt von den Annahmen ab, die wir in Bezug auf die Konstanz des Trendes in den Daten bequem machen. Das Modell mit nur einer Reihenfolge der Differenzierung nimmt einen konstanten durchschnittlichen Trend an - es handelt sich im Wesentlichen um ein fein abgestimmtes zufälliges Wandermodell mit Wachstum - und macht daher relativ konservative Trendprojektionen. Es ist auch ziemlich optimistisch über die Genauigkeit, mit der es mehr als eine Periode vorhersagen kann. Das Modell mit zwei Ordnungen von differencing nimmt einen zeitveränderlichen lokalen Trend an - es handelt sich im Wesentlichen um ein lineares exponentielles Glättungsmodell - und seine Trendprojektionen sind etwas stärker. Als allgemeine Regel in dieser Art von Situation, würde ich empfehlen, die Wahl des Modells mit der niedrigeren Reihenfolge der Differenzierung, andere Dinge sind etwa gleich. In der Praxis scheinen zufällige Spaziergänge oder einfach-exponentiell-glättende Modelle oft besser zu funktionieren als lineare exponentielle Glättungsmodelle. Gemischte Modelle: In den meisten Fällen stellt sich das beste Modell heraus, das ein Modell verwendet, das entweder nur AR-Begriffe oder nur MA-Begriffe verwendet, obwohl in einigen Fällen ein quotmixedquot-Modell mit sowohl AR - als auch MA-Terminen die besten Anpassungen an die Daten liefern kann. Bei der Montage von Mischmodellen ist jedoch Vorsicht geboten. Es ist möglich, dass ein AR-Term und ein MA-Term alle anderen Effekte aufheben. Obwohl beide im Modell signifikant erscheinen können (wie durch die t-Statistik ihrer Koeffizienten beurteilt). So sei z. B. angenommen, dass das quotcorrectquot Modell für eine Zeitreihe ein ARIMA (0,1,1) Modell ist, sondern stattdessen ein ARIMA (1,1,2) Modell - d. h. Sie beinhalten einen weiteren AR-Term und einen weiteren MA-Termin. Dann können die zusätzlichen Begriffe am Ende im Modell deutlich erscheinen, aber intern können sie nur gegeneinander arbeiten. Die resultierenden Parameterschätzungen können zweideutig sein, und der Parameterabschätzprozess kann sehr viele (z. B. mehr als 10) Iterationen durchführen, um zu konvergieren. Folglich: Regel 8: Es ist möglich, dass ein AR-Term und ein MA-Term alle anderen Effekte aufheben, also wenn ein gemischtes AR-MA-Modell an die Daten anzupassen scheint, probier auch ein Modell mit einem weniger AR-Term und einem weniger MA-Term - besonders wenn die Parameterschätzungen im Originalmodell mehr als 10 Iterationen konvergieren müssen. Aus diesem Grund können ARIMA-Modelle nicht durch einen rückwärts schrittweisen Ansatz identifiziert werden, der sowohl AR - als auch MA-Terme enthält. Mit anderen Worten, Sie können nicht beginnen, indem Sie mehrere Begriffe jeder Art und dann werfen diejenigen, deren geschätzte Koeffizienten sind nicht signifikant. Stattdessen folgen Sie normalerweise einem vorwärts schrittweisen Ansatz, indem Sie Begriffe der einen oder anderen Art hinzufügen, wie durch das Aussehen der ACF - und PACF-Plots angezeigt. Einheitswurzeln: Wenn eine Serie grob unter - oder überdifferenziert ist - d. h. Wenn eine ganze Reihenfolge der Differenzierung hinzugefügt oder abgebrochen werden muss, wird dies oft durch ein Quoten-Rootquot in den geschätzten AR - oder MA-Koeffizienten des Modells signalisiert. Ein AR (1) - Modell soll eine Einheitswurzel haben, wenn der geschätzte AR (1) - Koeffizient fast genau gleich 1 ist. (Von quotexactly gleichem, ich meine wirklich nicht signifikant anders als in den Koeffizienten eigenen Standardfehler. ) Wenn dies geschieht, bedeutet dies, dass der AR (1) Begriff genau einen ersten Unterschied nachahmt, in welchem ​​Fall Sie den AR (1) Begriff entfernen und stattdessen eine Reihenfolge der Differenzierung hinzufügen sollten. (Das ist genau das, was passieren würde, wenn man ein AR (1) - Modell auf die undifferenzierte UNITS-Serie montiert hat, wie bereits erwähnt.) In einem übergeordneten AR-Modell existiert eine Einheitswurzel im AR-Teil des Modells, wenn die Summe von Die AR-Koeffizienten ist genau gleich 1. In diesem Fall sollten Sie die Reihenfolge des AR-Termes um 1 reduzieren und eine Reihenfolge der Differenzierung hinzufügen. Eine Zeitreihe mit einer Einheitswurzel in den AR-Koeffizienten ist nicht stationär - i. e. Es braucht eine höhere Ordnung der Differenzierung. Regel 9: Wenn es eine Einheitswurzel im AR-Teil des Modells gibt - d. h. Wenn die Summe der AR-Koeffizienten fast genau 1 ist, sollten Sie die Anzahl der AR-Terme um eins reduzieren und die Reihenfolge der Differenzierung um eins erhöhen. Ähnlich soll ein MA (1) - Modell eine Einheitswurzel haben, wenn der geschätzte MA (1) - Koeffizient genau gleich 1 ist. Wenn dies geschieht, bedeutet dies, dass der MA (1) - Test genau einen ersten Unterschied annulliert In diesem Fall solltest du den MA (1) Begriff entfernen und auch die Reihenfolge der Differenzierung um eins reduzieren. In einem übergeordneten MA-Modell existiert eine Einheitswurzel, wenn die Summe der MA-Koeffizienten genau gleich 1 ist. Regel 10: Wenn es eine Einheitswurzel im MA-Teil des Modells gibt - d. h. Wenn die Summe der MA-Koeffizienten fast genau 1 ist, sollten Sie die Anzahl der MA-Terme um eins reduzieren und die Reihenfolge der Differenzierung um eins reduzieren. Wenn Sie zum Beispiel ein lineares exponentielles Glättungsmodell (ein ARIMA (0,2,2) Modell passen), wenn ein einfaches exponentielles Glättungsmodell (ein ARIMA (0,1,1) Modell) ausreichend wäre, können Sie das finden Die Summe der beiden MA-Koeffizienten ist fast gleich gleich 1. Durch die Verringerung der MA-Ordnung und die Reihenfolge der Differenzierung um jeweils eine erhalten Sie das passendere SES-Modell. Ein Prognosemodell mit einer Einheitswurzel in den geschätzten MA-Koeffizienten wird als nichtinvertierbar bezeichnet. Dass die Residuen des Modells nicht als Schätzungen des quottruequot-zufälligen Rauschens betrachtet werden können, das die Zeitreihen erzeugt hat. Ein weiteres Symptom einer Einheitswurzel ist, dass die Prognosen des Modells quadrieren oder sich anders verhalten können. Wenn die Zeitreihenfolge der längerfristigen Prognosen des Modells seltsam aussieht, sollten Sie die geschätzten Koeffizienten Ihres Modells auf das Vorhandensein einer Einheitswurzel überprüfen. Regel 11: Wenn die Langzeitprognosen unregelmäßig oder instabil erscheinen, kann es zu einem Einheitswurzel in den AR - oder MA-Koeffizienten kommen. Keines dieser Probleme entstand bei den beiden hier gezeigten Modellen, denn wir waren vorsichtig mit plausiblen Ordnungen der Differenzierung und einer angemessenen Anzahl von AR - und MA-Koeffizienten durch das Studium der ACF - und PACF-Modelle zu beginnen. Detaillierte Diskussionen über Einheitswurzeln und Streichungseffekte zwischen AR - und MA-Terminen finden sich in der mathematischen Struktur von ARIMA-Models Handout.2.1 Moving Average Models (MA-Modelle) Zeitreihenmodelle, die als ARIMA-Modelle bekannt sind, können autoregressive Begriffe und gleitende durchschnittliche Ausdrücke enthalten. In Woche 1 lernten wir einen autoregressiven Begriff in einem Zeitreihenmodell für die Variable x t ist ein verzögerter Wert von x t. Zum Beispiel ist ein lag 1 autoregressiver Term x t-1 (multipliziert mit einem Koeffizienten). Diese Lektion definiert gleitende durchschnittliche Begriffe. Ein gleitender Durchschnittsterm in einem Zeitreihenmodell ist ein vergangener Fehler (multipliziert mit einem Koeffizienten). Lassen Sie (nt N (0, sigma2w)), was bedeutet, dass die wt identisch, unabhängig verteilt sind, jeweils mit einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der gleichen Varianz. Das mit MA (1) bezeichnete 1-stufige gleitende Durchschnittsmodell ist (xt mu wt theta1w) Das durchschnittliche Modell der 2. Ordnung, das mit MA (2) bezeichnet wird, ist (xt mu wt theta1w theta2w) , Bezeichnet mit MA (q) ist (xt mu wt theta1w theta2w dots thetaqw) Hinweis. Viele Lehrbücher und Softwareprogramme definieren das Modell mit negativen Vorzeichen vor den Bedingungen. Dies ändert nicht die allgemeinen theoretischen Eigenschaften des Modells, obwohl es die algebraischen Zeichen der geschätzten Koeffizientenwerte und (unsquared) Terme in Formeln für ACFs und Abweichungen klappt. Sie müssen Ihre Software überprüfen, um zu überprüfen, ob negative oder positive Zeichen verwendet wurden, um das geschätzte Modell korrekt zu schreiben. R verwendet positive Zeichen in seinem zugrunde liegenden Modell, wie wir hier tun. Theoretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (1) Modell Beachten Sie, dass der einzige Wert ungleich Null im theoretischen ACF für Verzögerung 1 ist. Alle anderen Autokorrelationen sind 0. Somit ist ein Beispiel ACF mit einer signifikanten Autokorrelation nur bei Verzögerung 1 ein Indikator für ein mögliches MA (1) Modell. Für interessierte Schüler sind die Beweise dieser Eigenschaften ein Anhang zu diesem Handzettel. Beispiel 1 Angenommen, ein MA (1) - Modell ist x t 10 wt .7 w t-1. Wo (wt Overset N (0,1)). So ist der Koeffizient 1 0,7. Die theoretische ACF ist gegeben durch eine Handlung dieses ACF folgt. Die gerade dargestellte Handlung ist die theoretische ACF für eine MA (1) mit 1 0,7. In der Praxis wird eine Probe gewöhnlich ein solches klares Muster liefern. Unter Verwendung von R simulierten wir n 100 Abtastwerte unter Verwendung des Modells x t 10 w t .7 w t-1, wobei w t iid N (0,1). Für diese Simulation folgt eine Zeitreihenfolge der Stichprobendaten. Wir können nicht viel von dieser Handlung erzählen. Die Stichprobe ACF für die simulierten Daten folgt. Wir sehen eine Spike bei Verzögerung 1, gefolgt von allgemein nicht signifikanten Werten für die Vergangenheit 1. Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF nicht mit dem theoretischen Muster des zugrundeliegenden MA (1) übereinstimmt, was bedeutet, dass alle Autokorrelationen für Verzögerungen nach 1 0 sind Eine andere Probe hätte eine etwas andere Probe ACF, die unten gezeigt wird, würde aber wahrscheinlich die gleichen breiten Merkmale haben. Theroretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (2) Modell Für das MA (2) Modell sind die theoretischen Eigenschaften die folgenden: Beachten Sie, dass die einzigen Werte ungleich Null im theoretischen ACF für die Verzögerungen 1 und 2 sind. Autokorrelationen für höhere Verzögerungen sind 0 So gibt ein Beispiel ACF mit signifikanten Autokorrelationen bei den Verzögerungen 1 und 2, aber nicht signifikante Autokorrelationen für höhere Verzögerungen ein mögliches MA (2) - Modell an. Iid N (0,1). Die Koeffizienten sind 1 0,5 und 2 0,3. Da es sich hierbei um ein MA (2) handelt, hat die theoretische ACF nur Nullwerte nur bei den Verzögerungen 1 und 2. Werte der beiden Nicht-Null-Autokorrelationen sind eine Auftragung der theoretischen ACF folgt. Wie fast immer der Fall ist, verhalten sich die Probendaten nicht ganz so perfekt wie die Theorie. Wir simulierten n 150 Probenwerte für das Modell x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Wo w t iid N (0,1). Die Zeitreihenfolge der Daten folgt. Wie bei der Zeitreihen-Plot für die MA (1) Beispieldaten können Sie nicht viel davon erzählen. Die Stichprobe ACF für die simulierten Daten folgt. Das Muster ist typisch für Situationen, in denen ein MA (2) Modell nützlich sein kann. Es gibt zwei statistisch signifikante Spikes bei den Verzögerungen 1 und 2, gefolgt von nicht signifikanten Werten für andere Verzögerungen. Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF aufgrund des Stichprobenfehlers nicht genau mit dem theoretischen Muster übereinstimmt. ACF für allgemeine MA (q) Modelle Eine Eigenschaft von MA (q) - Modellen im Allgemeinen ist, dass es für die ersten q-Verzögerungen und Autokorrelationen 0 für alle Verzögerungen gt q ungleichen Autokorrelationen gibt. Nicht-Eindeutigkeit der Verbindung zwischen den Werten von 1 und (rho1) in MA (1) Modell. Im MA (1) Modell, für jeden Wert von 1. Die reziproke 1 1 gibt den gleichen Wert für Als Beispiel, verwenden Sie 0,5 für 1. Und dann 1 (0,5) 2 für 1 verwenden. Youll bekommen (rho1) 0,4 in beiden Fällen. Um eine theoretische Einschränkung zu erfüllen, die Invertierbarkeit genannt wird. Wir beschränken die MA (1) - Modelle auf Werte mit einem absoluten Wert kleiner als 1. In dem gerade angegebenen Beispiel ist 1 0,5 ein zulässiger Parameterwert, wohingegen 1 10,5 2 nicht. Invertierbarkeit von MA-Modellen Ein MA-Modell soll invertierbar sein, wenn es algebraisch äquivalent zu einem konvergierenden unendlichen Ordnungs-AR-Modell ist. Durch konvergieren, verstehen wir, dass die AR-Koeffizienten auf 0 abnehmen, wenn wir uns in der Zeit zurückziehen. Invertierbarkeit ist eine Beschränkung, die in die Zeitreihen-Software programmiert ist, die verwendet wird, um die Koeffizienten von Modellen mit MA-Terme abzuschätzen. Es ist nicht etwas, das wir in der Datenanalyse überprüfen. Zusätzliche Informationen über die Invertierbarkeitsbeschränkung für MA (1) Modelle finden Sie im Anhang. Fortgeschrittene Theorie Hinweis. Für ein MA (q) Modell mit einem bestimmten ACF gibt es nur ein invertierbares Modell. Die notwendige Bedingung für die Invertierbarkeit ist, daß die Koeffizienten Werte haben, so daß die Gleichung 1- 1 y - ist. - q y q 0 hat Lösungen für y, die außerhalb des Einheitskreises liegen. R-Code für die Beispiele In Beispiel 1 haben wir die theoretische ACF des Modells x t 10 w t aufgetragen. 7w t-1 Und dann simuliert n 150 Werte aus diesem Modell und plotted die Probe Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten Daten. Die R-Befehle, die verwendet wurden, um das theoretische ACF zu zeichnen, waren: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 Verzögerungen von ACF für MA (1) mit theta1 0,7 lags0: 10 erzeugt eine Variable namens Lags, die von 0 bis 10 reicht (1) mit theta1 0,7) abline (h0) fügt eine horizontale Achse zum Plot hinzu Der erste Befehl bestimmt den ACF und speichert ihn in einem Objekt Benannte acfma1 (unsere auswahl des namens). Der Plotbefehl (der 3. Befehl) zeichnet sich gegen die ACF-Werte für die Verzögerungen 1 bis 10 aus. Der ylab-Parameter markiert die y-Achse und der Hauptparameter setzt einen Titel auf den Plot. Um die numerischen Werte des ACF zu sehen, benutzen Sie einfach den Befehl acfma1. Die Simulation und die Plots wurden mit den folgenden Befehlen durchgeführt. Xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) simuliert n 150 Werte aus MA (1) xxc10 fügt 10 hinzu, um Mittel zu machen 10. Simulation standardmäßig 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF für simulierte Probendaten) In Beispiel 2 wurden die theoretischen ACF des Modells xt 10 Gew .-% w t-1 .3 w t-2 aufgetragen. Und dann simuliert n 150 Werte aus diesem Modell und plotted die Probe Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten Daten. Die verwendeten R-Befehle waren acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (Verzögerungen, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, Haupt-ACF für MA (2) mit theta1 0,5, Thex20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, list (mac (0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, main simulierte MA (2) Serie) acf (x, xlimc (1,10), MainACF für simulierte MA (2) Daten) Anhang: Nachweis der Eigenschaften von MA (1) Für interessierte Studierende sind hier Beispiele für theoretische Eigenschaften des MA (1) Modells. Abweichung: (Text (xt) Text (mu wt theta1 w) 0 Text (wt) Text (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Wenn h 1, der vorherige Ausdruck 1 w 2. Für irgendwelche h 2 ist der vorherige Ausdruck 0 Der Grund dafür ist, dass durch die Definition der Unabhängigkeit der Gew. E (w k w j) 0 für jedes k j Da ferner wt den Mittelwert 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2 hat. Für eine Zeitreihe, Wenden Sie dieses Ergebnis an, um das oben angegebene ACF zu erhalten. Ein invertierbares MA-Modell ist eines, das als ein unendliches Ordnungs-AR-Modell geschrieben werden kann, das konvergiert, so dass die AR-Koeffizienten zu 0 konvergieren, wenn wir uns unendlich zurück in der Zeit bewegen. Nun zeigen Sie die Invertierbarkeit für das Modell MA (1). Dann ersetzen wir die Beziehung (2) für w t-1 in Gleichung (1) (3) (zt wt theta1 (z - θaw) wt theta1z - θ2w) Zur Zeit t-2. Gleichung (2) wird wir dann die Beziehung (4) für wt-2 in Gleichung (3) (zt wt theta1z-tha21w wt theta1z - tha21 (z-tha1w) wt theta1z - θ12z theta31w) Wenn wir fortfahren würden ( Unendlich), würden wir die unendliche Ordnung AR-Modell erhalten (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z Punkte) Beachten Sie jedoch, dass bei 1 1 die Koeffizienten, die die Verzögerungen von z multiplizieren, in der Größe zunehmen wird (unendlich), wenn wir uns zurück bewegen Zeit. Um dies zu verhindern, brauchen wir 1 lt1. Dies ist die Voraussetzung für ein invertierbares MA (1) Modell. Infinite Order MA Modell In Woche 3 sehen wir, dass ein AR (1) Modell in eine unendliche Reihenfolge umgewandelt werden kann MA Modell: (xt-mu wt phi1w phi21w punkte phik1 w Punkte Summe phij1w) Diese Summierung von vergangenen weißen Rauschen ist bekannt Als die kausale Darstellung eines AR (1). Mit anderen Worten, x t ist eine spezielle Art von MA mit einer unendlichen Anzahl von Begriffen, die in der Zeit zurückgehen. Dies wird als unendliche Ordnung MA oder MA () bezeichnet. Eine endliche Ordnung MA ist eine unendliche Ordnung AR und jede endliche Ordnung AR ist eine unendliche Ordnung MA. Rückruf in Woche 1, stellten wir fest, dass eine Voraussetzung für eine stationäre AR (1) ist, dass 1 lt1. Lets berechnen die Var (x t) mit der Kausaldarstellung. Dieser letzte Schritt verwendet eine grundlegende Tatsache über geometrische Reihen, die (Phi1lt1) ansonsten die Reihe divergiert. NavigationForecasting ist der Schlüssel in vielen Bereichen der Wissenschaft. In dieser Arbeit sind drei Methoden von Interesse und sie sind: SES, HWES und ARIMA. Während des ganzen Papiers werden die Methoden mit Zambias jährlichen Netto-FDI-Zuflüssen dargestellt. Das Best-Fit-Modell wird verwendet, um Zambias jährliche Netto-Direktinvestitionen (FDI) von 1970 bis 2014 zu prognostizieren. Die SES-Methode ist ein einfaches Werkzeug für die Vorhersage von Zeitreihendaten. Glättung impliziert das Entfernen des unerwünschten Geräusches, so dass der allgemeine Pfad erzeugt wird. Diese Methode eignet sich für die Prognose von Daten ohne Trend oder Saisonmuster. Es handelt sich im Grunde um ein rekursives Rechenverfahren 1. Die HWES-Methode Vorhersageposten werden als gewichteter Durchschnitt der vergangenen beobachteten Werte erhalten, bei denen die Gewichte exponentiell sinken, so dass die Werte der letzten Beobachtungen zur Prognose mehr als die Werte früherer Beobachtungen beitragen 2. Mit ARIMA-Modellen können Prognosen für Zeitreihendaten erstellt werden. Das ARIMA-Modell hat drei Teile. Nicht alle Teile sind immer notwendig, aber es hängt von der Art der Zeitreihe Daten zur Hand. Die drei Teile sind die autoregressive (AR), die integrierte (I) und schließlich der gleitende Durchschnitt (MA). Annahme für den AR-Teil einer Zeitreihendaten ist, dass der beobachtete Wert von einigen linearen Kombinationen von vorherigen beobachteten Werten bis zu einigen maximalen Verzögerungen plus Fehlerterm abhängt. Annahme für den MA-Teil der Zeitreihendaten ist, dass der beobachtete Wert ein zufälliger Fehlerterm plus einige lineare Kombinationen von vorherigen zufälligen Fehlerbegriffen bis zu einigen maximalen Verzögerungen 3 ist. FDI ist ausländische Kapitalinvestitionen in ein Land. Ausländische Direktinvestitionen in ein Land führen zu einer Steigerung der Produktivität, zur Verringerung der Arbeitslosigkeit und zur Steigerung der Nutzung von Technologie. Die Notwendigkeit von ausländischen Direktinvestitionen kam als Folge von Engpässen in inländischen Finanzierungsquellen zur Finanzierung von Entwicklungsprojekten in Entwicklungsländern. Diese Entwicklungsländer haben erkannt, dass es durch FDI ist, dass sie Wirtschaftswachstum erreichen können. Nach 4. FDI schließt Darlehen von internationalen Organisationen, ausländischen Regierungen, privaten Geschäftsbanken, Aktien und Anleihen aus, die von Ausländern gekauft wurden, aber es ist eine Investition, bei der die Führungskräfte von ausländischen Investoren durchgeführt werden. Nach 5 FDI ​​stellen Tätigkeiten wie Entscheidungsfindung dar, die von Firmen oder Gruppen von Firmen außerhalb des Landes der Investition durchgeführt werden. Weiterhin 6. FDI ist definiert als eine Investition, die entsteht, wenn der Investor im Mutterland in ein anderes Land investiert, mit einer Intension, um die Kontrolle über die Verwaltung und den Betrieb zu haben. Studien nach 7 zeigen, dass es eine positive Beziehung zwischen FDI und Wirtschaftswachstum gibt. Allerdings hängt diese positive Beziehung von Humankapital ab, das in dieser Wirtschaft zur Verfügung steht. Darüber hinaus ist für Länder mit sehr niedrigem Humankapital die direkte Wirkung von ausländischen Direktinvestitionen negativ. Sie haben weiter argumentiert, dass die ausländischen Direktinvestitionen zum Wettbewerb mit inländischen Investoren führen und damit die lokalen und bereits bestehenden Unternehmen negativ beeinflusst werden, daher die schwache positive Beziehung zum Wirtschaftswachstum. Studien nach 8 zeigen, dass FDI-Zuflüsse in den Entwicklungsländern zu einer Menge in anderen Investitionen auf Makroebene geführt haben. Untersuchungen von 9 fanden, dass die ausländischen Direktinvestitionen zu einem höheren Pro-Kopf-BIP, zu einem Wirtschaftswachstum, zu einem Produktivitätswachstum, zu einem höheren Export im Aufnahmestaat und zu einer erhöhten Rückwärtsbewegung führten. Das Hauptziel der Sambia-Regierung ist es, die ausländischen Direktinvestitionen zu erhöhen und zu erhalten, die über das derzeitige Niveau hinausgehen. Die sambischen FDI-Zuflüsse sind vor allem in der Kupfer - und Kobalt-Extraktion, im Agrarsektor, insbesondere im Gartenbau und in der Blumenzuchtproduktion, und im Tourismus. Firmen oder Unternehmensgruppen aus Ländern wie Großbritannien und Südafrika sind traditionell die Hauptbeteiligten ausländischer Direktinvestitionen, obwohl der FDI-Zufluss aus anderen Ländern drastisch zunimmt. Der Nettozufluss zu anderen Ländern ist negativ, was bedeutet, dass Abflüsse, die aus diesen Ländern stammen, aus diesen Ländern (Zuflüsse) geringer sind als die aus Sambia (Abflüsse). Allerdings ist der Umfang dieser Forschung zu diskutieren FDI-Zuflüsse (Net) nach Sambia. Eine Analyse der FDI-Ströme nach Herkunftsland im Jahr 2012 zeigt, dass Kanada (US 724,3 Mio.), Südafrika (US 426,0 Mio.), die Niederlande (US 262,2 Mio.) und das Vereinigte Königreich (US 227,2 Mio.) die Hauptquellenländer waren Von Zambias FDI-Zuflüsse, was 94,7 Prozent der gesamten Zuflüsse ausmacht. Die anderen Länder sind die Schweiz (US 166,9 Millionen), China (US 141,9 Millionen), Nigeria (US 94,6 Millionen), Singapur (US 62,0 Millionen), Kongo DR (US 28,6 Millionen) und Frankreich (US 20,2 Millionen) 10 11 12 . Die Prognoseergebnisse spielen den Entscheidungsträgern eine entscheidende Rolle. Entscheidungsfindung, mit guten Richtlinien und geeigneten strategischen Plänen, hängt von genauen Prognosen ab 13. 2. Methodik 2.1. Einfache exponentielle Glättungsmodelle (SES) Ein einfaches exponentielles Glättungsverfahren beinhaltet die Glättung von zufälligen Schwankungen der Zeitreihendaten. Die Methode eignet sich für die Prognose von Daten ohne Trend oder Saisonmuster. Diese Methode gibt vergangene Datengewichte bekannt als Glättungskonstanten, die exponentiell mit der Zeit abnehmen. Unten ist das exponentielle Glättungsmodell für Zeitreihendaten unten dargestellt: (1) (2) 2.2. Holt-Winters Exponential-Glättungsmodell (HWES) Holt-Winters Exponential-Glättungsmethode ist eine Erweiterung von SES und verwendet eine lineare Kombination der bisherigen Werte einer Serie zur Erzeugung und Modellierung zukünftiger Werte. Es gilt für Zeitreihendaten, die Trend haben. Aktuelle Zeitreihenaufzeichnungen sind der Schlüssel zur Prognose zukünftiger Werte einer Serie. Das Modell für Zeitreihendaten ist wie unten gezeigt: Wo ist die Glättungskonstante, ist die Trendglättungskonstanten, ist Rohdaten, ist geglättete Daten und sind die Trendschätzungen. Die Prognosegleichung ist (13) (5) 2.3. Autoregressives integriertes Moving Average Model (ARIMA) Stochastische Modelle, die Box-Jenkins als ARIMA bekannt sind, haben sich auch bei kurzfristigen Prognosen als effizienter und zuverlässiger erwiesen. Weiterhin sind stochastische Modelle verteilungsfrei, da keine Annahmen über die Daten 14 erforderlich sind. Das ARIMA-Modell besteht aus den folgenden Ausdrücken, die als Reihenfolge des autoregressiven (AR) Modells (p) bezeichnet werden, differenzierte Reihenfolge (d) und die Reihenfolge des gleitenden Durchschnitts (MA) - Modells (q). Die Box-Jenkin-Modelle werden mit ARIMA (p, d, q) bezeichnet. Ich impliziert, dass der Prozess differenziert werden muss und wenn die Modellierung durchgeführt wird, werden die Ergebnisse einem Integrationsprozess unterzogen, um Prognosen und Schätzungen zu produzieren. Die Ausdrücke für MA, AR und ARMA sind wie folgt: Wo ist der autoregressive Parameter zum Zeitpunkt t, ist der Fehlerterm zum Zeitpunkt t und ist der gleitende Mittelwert zum Zeitpunkt t 13. 2.4 Die Fehlermaße für die Modellauswahl Die Fehlermaße werden verwendet, um zu vergleichen, wie gut Modelle der Zeitreihe entsprechen. Nach 13. Das beste passende oder prognostizierte Modell ist eins mit minimalen Fehlern. Folgende Fehlerindikatoren wurden in diesem Papier verwendet: 3. Ergebnisse und Diskussion Die SES-, HWES - und ARIMA-Modelle werden für die Vorhersage von Zambias jährlichen Net Foreign Direct Investment (FDI) von 1970 bis 2014 verwendet. R ist ein weit verbreitetes statistisches Softwarepaket für statistische Analyse. Es wurde verwendet, um mit SES, HWES und ARIMA Modelle zu kommen. R enthält eingebaute Funktionen, die es dem Benutzer erlauben, Modellparameter spontan zu bestimmen, die einzige Anforderung in dieser Software ist die Zeitreihendaten, die analysiert werden sollen. Unter Verwendung von R zeigt das SES-Modell an, dass der Parameter der beste Parameterwert ist. Die Gleichung für dieses Modell nimmt also die Form an. Das HWES-Modell zeigt an, dass die Parameter und. Wobei wir die folgenden Gleichungen angeben: Für das ARIMA-Modell wird die Vorgehensweise durch die folgenden Schritte erreicht: Identifikation, Modellauswahl, Parameterschätzung und Diagnoseprüfung 13. Die Schritte sind unten dargestellt: Schritt 1: ARIMA-Modellidentifikation: Zeitplot ist der erste Schritt der ARIMA-Modellidentifikation von Zeitreihen. Ein Zeitdiagramm der FDI ist in Abbildung 1 für d 0 und d 1 aufgetragen. Die Stationarität kann nun unter Verwendung einer visuellen Anzeige der ACF - und PACF-Graphen in 2 überprüft werden. Die ACF - und PACF-Diagramme in 2 zeigen, dass die FDI-Zeitreihen Die Daten sind für d 0 aufgrund ihres langsamen Zerfalls nicht stabil und daher nicht stationär. Für d 1 ist das Zeitplot stationär. Nach 15 16. converting a nonstationary time series to a stationary one through differencing (where needed) is an important part of the process of fitting an ARIMA model. Step 2: Model selection The ACF and PACF plots for d 1 in Figure 2 indicate that the first differenced FDI series are stationary hence require further examination to establish the most suitable ARIMA. Table 1 shows the formula for each error indicator considered in this study. Table 2 shows the details of various ARIMA models along the error measures. Results by 14 demonstrate that an ARIMA model with lowest error measures specifically the AIC is considered the best model for forecasting. In this case an ARIMA (1, 1, 5) is considered as best fit model because it has the lowest value of the AIC statistics. Step 3: Model fitting and Parameter estimation. R output (version 0.99.903) for estimated parameter and p-value: ar1 ma1 ma2 ma3 ma4 ma5 0.8300 1.3240 0.4039 0.5289 0.8271 0.6342 sigma2 estimated as 27972: log likelihood 290.67, aic 595.33 The parameters found to be significance at 5 in Table 3 are AR (1), MA (1), MA (2), MA (3), MA (4), and MA (5). The ARIMA (1, 1, 5) model equation can Figure 1 Time plots for d 0 and d 1 Figure 2 Plots of ACF and PACF for d 0 and d 1 Table 1 The error indicators therefore be written as Step 4: Diagnostic Checking Goodness of fit for time series models involves testing if the model residuals form a white noise process. It is through diagnostic checks that a model can be declared statistically adequate and thereafter can be used to forecast. According to 14 . if the diagnostic tests fails a new process (cycle) of identification, estimation and diagnosis is done until the best fit model is found. The Plots of ACF, Normal Q-Q and Histogram of Residuals show that the residual are a white noise process. Thus, diagnostic check for an ARIMA (1,1,5) model in Figure 3 indicates that the model is good (best fit). The results in Table 4 show that the ARIMA (1,1,5) model performed better than the SES and HWES models on FDI data for Zambia due to the minimal error. Hence, this model was picked for forecasting. Forecasting results plays a vital role to policy makers in creating good policies and coming up with suitable strategic plans on FDI. R output of ARIMA (1,1,5) forecasts for the next 10 years of annual net Zambias FDIs inflow is shown in Table 5 . Table 5 shows ten year forecasts for FDI using ARIMA (1, 1, 5). Trajectory of Figure 3 Plots of ACF, Normal Q-Q and histogram of residuals forecasts in the period from 2014 to 2024 is shown in Figure 4. Forecasting results give a gradual increase in annual net FDI inflows of about 44.36 by 2024. Forecasting is key to every field of science. ARIMA (1, 1, 5) can be used to forecast the annual net inflows of FDI to Zambia. This model can be used for both Table 3 Estimate of ARIMA (1,1,5) Figure 4 R output of ARIMA (1,1,5) forecasts for the next 10 years short and long term forecasting. Best strategies can only be created with accurate forecasting results. Studies have shown that FDI affects the growth of GDP. Therefore, the importance of FDI is acknowledged world over. FDI also helps diversify the countrys economy (through job creation and increase in productivity), increase export in host country, improve efficiency and have technological spillovers on the already existing firms. Three models of univariate time-series analysis were considered in this study: SES, HWES and ARIMA models. The best fit of the three models used in this study was picked based on the model indicating minimum errors. The ARIMA (1,1,5) showed smallest error than that of the SES or HWES models. Forecasting results give a gradual increase in annual net FDI inflows of about 44.36 by 2024. Policy makers use accurate forecasts to come up good policies. Therefore, the Zambian government should use such forecasts in formulating policies and making strategies that will promote FDI industry. Future research should go further and consider non-linear models such as Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH), Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH). The authors are thankful to Zambia Development Agency (ZDA) for providing time series data on FDI. Many thanks also go to the Dean, School of Science, Engineering and Technology Dr Douglas Kunda for the encouragements. Not forgetting Mulungushi University for making it possible through provision of resources to come up with this research work. Also many other colleagues who made good comments on this paper. Cite this paper Jere, S. Kasense, B. and Chilyabanyama, O. (2017) Forecasting Foreign Direct Investment to Zambia: A Time Series Analysis. Open Journal of Statistics, 7, 122-131. doi. org10.4236ojs.2017.71010